Análisis Funcional by Juan Carlos Cabello Píñar

By Juan Carlos Cabello Píñar

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Si dist(A, B) = δ > 0, entonces existe un funcional f ∈ SX ∗ tal que ef (a) + δ ≤ ef (b) (∀a ∈ A, b ∈ B). ✷ Es usual referirse a cualquiera de los tres últimos resultados utilizando la expresión de teorema de separación de tipo Hahn-Banach. 10 Sea X un espacio normado y A un subconjunto de X no vacío y convexo. Dado x0 ∈ X con d(x0 , A) > 0, existe f ∈ X ∗ con f = 1 tal que ef (x0 ) = sup ef (A) + d(x0 , A). ✷ Cuando intentamos separar dos subconjuntos no vacíos, cerrados y disjuntos de un espacio normado donde además uno de ellos es compacto podemos conseguir el siguiente teorema de separación, el cual es un poco más fuerte que los anteriores.

31 (que se obtiene de forma similar a su anteriormente comentada versión numérica) permite deducir que la función νp : Lp [0, 1] → R definida por 1 νp (f ) = |f | p 1 p (f ∈ Lp [0, 1]) 0 es una seminorma. } . Es claro que N es un subespacio vectorial de Lp [0, 1] y el espacio cociente Lp [0, 1]/N, que denotaremos por Lp [0, 1], se convierte en un espacio normado, definiendo, como se indicó en la nota precedente, 1 f +N p = |f | p 1 p , ∀f ∈ Lp [0, 1]. 0 El Teorema de Riesz-Fisher garantiza que Lp [0, 1] es un espacio de Banach.

Puede comprobarse fácilmente que la definición no depende del representante elegido y que, la aplicación x + M → x + M , de X/M en K, define una norma en X/M, la cual recibe el nombre de norma cociente en X/M. La consideración de la norma cociente es bastante natural ya que genera la topología cociente en X/M que es, por definición, la mayor topología en X/M que hace continua a la proyección canónica π : X → X/M . Es fácil probar que la proyección canónica es abierta y que ||π|| = 1. 5. Subespacios complementados.

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